An Adaptive Generation Method for Transmission Network One-line Diagram Layouts Based on Graph Autoencoder
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摘要: 输电网单线图被广泛应用于电力系统各类信息的可视化展示，然而针对不同的展示需求往往需要设计专有算法来生成相应风格的单线图，其主要原因是现有自动生成方法难以快速适应场景需求的变化。该文旨在提出一种输电网单线图布局的自动生成方法，可适应较为广泛的布局要求，并实现需求变化后布局的快速重新生成。首先，建立输电网单线图布局的数学模型；其次，分析影响布局易读性的因素，并探讨几种场景下布局质量的量化评价指标；再次，构建一种基于图自编码器的深度学习模型，学习输电网单线图布局的生成模式，并利用学习到的布局特征生成适应给定评价指标要求的优化布局；最后，将该文所提方法用于某省级实际输电网单线图的生成，实验结果表明其生成布局符合所设场景预期，并在生成时间和布局质量等指标上均优于对比算法，验证了该方法快速适应场景需求变化的能力。Abstract: Transmission grid one-line diagrams are widely used to visualize the information of power systems. However, it is often necessary to design proprietary algorithms to generate one-line diagrams of different styles to meet various presentation demands. The main reason iwas that existing automatic generation methods cannot could not efficiently adapt to the change in the application scenario. This paper proposes proposed an automated approach to generating transmission grid one-line diagrams. It can could adapt to a broader range of layout requirements and allows allowed rapid regeneration of layouts after changes in demand. To begin with, a mathematical model of the layout of transmission grid one-line diagrams is was established in this paper. The factors that affect legibility and the quantitative metrics for evaluating the layout quality are were then analyzed. After that, a deep learning model based on graph autoencoders is was built to learn the patterns of transmission grid one-line diagrams. The learned patterns are were used to generate an optimized layout that could meets the given requirements of the evaluation metrics. Finally, the proposed method is was implemented on an actual provincial-level transmission grid. The experimental results show that the generated layout can meet the expectation of the selected scenarios, and is superior to previous algorithms in terms of generation time and layout quality. Thus, the capability of the method in quickly adapting to different application demands is verified.
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0. 引言
输电网单线图是一种用单根直线表示三相交流输电系统变电站之间连接关系的电网接线图，被广泛应用于电网规划设计、调度运行和分析计算等领域的信息可视化展示。
常见的基于地理信息系统(geographic information system，GIS)的输电网单线图以变电站实际地理位置信息作为各变电站节点的坐标进行单线图的绘制，以其准确反映电网实际结构与位置关系的特点被运用于电网规划、设计和调度等领域的可视化数据展示与分析[1-4]。然而，实际电网中偏远地区和经济欠发达地区线路稀疏，城市负荷中心线路密集、交错[3]，这些因素都制约了地理信息单线图的实用性。随着电网调度中心应用系统的扩展和功能的复杂化，应用之间以及各级电网之间的数据交换将日益频繁，对基于电网模型数据自动生成相应可视化图形提出了越来越高的要求。
已有大量研究旨在解决仅根据变电站间的拓扑连接关系自动生成输电网单线图的问题。文献[5-9]采用优化类方法来解决单线图自动布局或与之类似的选址布网相关问题，但此类方法往往耗时较长。力导算法由P. Eades在文献[10]中首先提出，以节点之间的斥力与边之间的吸引力作为基本模型，利用动力学迭代计算进行求解，由于此类算法布局快速且在参数选取合理的情况下布局较为美观，被广泛运用于图形自动布局等领域。文献[11-13]对传统力导算法进行改进，提升了算法的求解速度和展示效果。然而，力导算法需要对繁多的力学参数进行配置，而固定的参数设置又无法满足不同应用场景下输电网单线图布局的展示要求。
此外，随着电力系统拓扑规模的日益复杂，不同可视化任务对输电网单线图的展示提出了多样化的要求和评价标准。例如文献[14]针对在省级电网信息展示图中变电站附近需要放置名称标签等信息的特点，要求在一定程度保留地理相对布局的情况下，能更充分地利用绘图空间、保证变电站之间留有足够的位置。文献[15]分析了电力系统单线图中影响线路潮流易读性的因素，指出布局中更平直地绘制输电通道将有利于潮流等信息的展示。随着电力系统逐渐形成以特高压为骨干网架、各级电网协调发展的智能电网[16]，在大电网一体化展示方面，由于省级以上电力部门维护着成百上千个变电站节点和众多电压等级线路的数据，管理平台需要按不同电压等级区分展示全网线路[17-19]，要求输电网单线图在显示全网完整拓扑和仅显示若干较高电压等级主干拓扑的情况下，都具备较好的易读性。传统输电网单线图生成方法多针对特定形态或某种场景要求而设计，对场景变化后的适应力较差。近年来，基于遗传算法等启发式算法的输电网单线图生成方法，虽可以通过重新设计目标函数的方式适应布局要求的改变，但当布局需求变化后又需要较长时间的重新计算。而面对日益多样化的布局任务所提出的不同要求，现有方法缺乏针对多样化的应用场景快速、自适应生成相应布局的能力。
为解决现有方法存在的上述不足，本文提出一种基于图自编码器的输电网单线图布局自适应生成方法。该方法利用图自编码模型的特征提取能力，学习输电网单线图布局的生成模式，并利用学习到的布局特征生成适应给定评价指标要求的优化布局。最后，通过实际电网算例对该方法进行验证。
1. 输电网单线图布局数学模型的建立
输电网单线图的概念十分广泛，本文的研究对象是以变电站作为节点，并以单根直线段表示站间连接关系的输电网单线图形式，这类单线图也最为常见。此外，还有一些较为特殊的单线图形式，例如在系统接线图中变电站不采取节点描述，而是展开其内部结构进行绘制[20]；在调度大屏潮流图中，变电站常常以有尺寸标签的形式展示，并且对画布大小和布线风格有较为严格的要求，文献[9, 21]已给出了调度大屏潮流图较优的绘制方法，而这些特殊形式的单线图不在本文讨论范围之内。本节将建立输电网单线图布局的数学模型，得出布局差异的量化计算方法，以用于模型的训练。
1.1 布局的矩阵化表示
为便于对布局进行储存、绘制和图形学计算，本文将使用2种形式的矩阵对布局进行表示，其中节点坐标矩阵存有节点位置信息，可直接用于布局的绘制，而成对欧式距离矩阵体现了布局结构特征，将用于布局差异的计算。
1.1.1 节点坐标矩阵
将布局中各点的横纵坐标作为各行，各节点按编号顺序纵向排列作为列，即可形成布局的节点坐标矩阵。设图G有n个节点，L为图G的一个布局，第i个节点在布局L中的坐标用(xi, yi)表示，则该布局的节点坐标矩阵可表示为：
PL=[x1,y1⋯xn,yn] (1) 1.1.2 成对欧式距离矩阵
欧氏距离也称欧几里得距离，表示欧几里得空间中2点间的直线距离。成对欧氏距离矩阵以节点之间的欧氏距离作为矩阵元素。将节点i和j之间的欧氏距离记为di, j，则布局L的成对欧氏距离矩阵XL可表示为：
XL=[d1,1⋯d1,n⋯dn,1⋯dn,n] (2) 1.2 布局差异的计算
图自编码器(graph autoencoder，GAE)作为自编码器(autoencoder，AE)的一种，常常以输入值与输出值间的差异作为损失来进行模型的训练，可以较好地学习到网络节点的拓扑结构特性。使用图自编码器进行输电网单线图的自动生成，首先需要确定布局间差异的计算方法，为确定损失函数提供依据。
将布局L绕中心点旋转可得布局L'，二者的布局结构一致，但其节点坐标矩阵PL和PL'却有较大差异。如果用成对欧式距离矩阵表示，则可排除这种由旋转、朝向等因素对布局的影响。但是，成对欧式距离矩阵受节点的排列顺序影响巨大。
如图 1所示，对一个14节点系统采用力导算法在同一参数下生成2个布局，两者的空间结构相似，然而由于力导算法所生成的布局具有一定的随机性，导致2个布局中节点之间的相对位置发生了显著变化。结构等价节点[22]指拓扑上具有完全相同相连节点(即邻接节点)的1组节点。例如，图中节点1—5、7—8和12—13为3组结构等价节点，分别围绕其共同的邻接节点0、6和10排列。结构等价节点围绕其共同的邻接节点排列的顺序并不影响布局效果，但如果单纯用欧式距离矩阵来对2个布局进行比较，则会得到2个布局差异很大的结论，无法准确反映2个布局近似的特点。借鉴文献[23]提出的GW距离(gromov wasserstein distance，GWD)的概念，来解决上述由于节点排列顺序造成的布局差异计算不准确的问题，其定义如下：
GW=min (3) 式中：X1、X2为2个待比较布局L1和L2的成对欧式距离矩阵，自变量T为转换矩阵。以使右式最小作为求解目标，可解出最优转换矩阵T*，则2布局的差异可由下式计算：
{\text{diff}} < {\mathit{\boldsymbol{X}}_1}, {\mathit{\boldsymbol{X}}_2} > = {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{T}}^*}{\mathit{\boldsymbol{X}}_1}{\mathit{\boldsymbol{T}}^*} - {\mathit{\boldsymbol{X}}_2}} \right\|^2} (4) 式中：T*X1T*为X1经过调整编号顺序后的成对欧式距离矩阵，记为X′1。
如图 2所示为X1、X′1和X2这3个矩阵的热图表示，热图中各方块表示矩阵中各元素值的大小，可见X1和X2之间差异很大，而调整节点编号顺序后的X′1与X2之间的差异则较小，由图 1得知布局1与布局2结构上十分相似，可见，用经过调整节点编号后的X′1与X2进行比较，能更准确地反映图 1所示2个布局之间的真实差异。
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图 2 调整编号顺序对成对欧氏距离矩阵的影响Figure 2. Impact of adjusting the number sequence on the pairwise distance matrix2. 布局易读性评价指标
2.1 单线图布局易读性分析
对布局效果的评价受布局任务要求、个人主观判断等多方面因素影响。输电网单线图的易读性描述的是观者对给定单线图布局的易辨识程度。易读性高低决定了某一布局是否能帮助观者快速、直观地辨识出有效信息。已有的电力系统输电网单线图生成方法往往以“美观性”等主观评价指标或交点最少等简单量化指标对布局效果进行评价[15]，对易读性这一概念的量化评估尚不充分。
拓扑学一般采用以下2项指标评价布局的通用易读性：
1）直线交叉数指标M1：单线图旨在表明节点的连接关系，过多的直线交叉将影响输电网单线图的辨识度。直线交叉数指标越小，代表布局拥有更少的直线交叉数，布局易读性越高。
2）节点分布均匀度指标M2：指各节点在布局空间中排布的均匀程度，可以反映布局对可用绘图空间的有效利用率。文献[24]中沿多方向分别对绘图区域进行划分，统计各区域内点数目的标准差作为均匀度指标。对该方法进行改进，使用网格的方式将绘图空间等间距划分为子区域，计算各子区域内节点数量的标准差之倒数即可得出布局均匀程度，该指标越大布局越优。使用网格法进行分区后，对均匀度计算的粒度更小，且在程序实现时可以通过K-D树等算法提升指标计算速度。节点分布均匀度指标可表示为：
{M_2} = 10\sqrt {m/[\sum\limits_i^m {{{({N_i} - \bar N)}^2}} ]} (5) 式中：m为总分区数；Ni为第i个分区内的节点数， \bar N 为各分区内节点数的算术平均值；系数10用于平衡几项指标间基准权重。
除拓扑学的通用评价指标外，输电网单线图的实际展示中往往还关注某些特定的运行数据。对于这些不同的展示需求，可定义如下指标对输电网单线图的布局效果进行评价：
1）输电通道平直度指标M3：表示布局中某输电通道首末端之间的平直度。
以图 3为例来说明潮流展示的平直度，图 3(a)所示布局中由线路5-6构成的输电通道的潮流展示显然是曲折的，与之对比，图 3(b)中布局展示的输电通道潮流则平直许多。文献[15]指出，输电网单线图中更高的输电通道平直度可带来更好的易读性。输电通道平直度指标可表示为：
{M_3} = \sum\limits_{l \in V} {(\pi - {\alpha _l}){\phi _l}} (6) 式中：V为布局中一组特征线路的集合；l为其中一段线路；Φl为线路l在整组线路集合中的长度占比；αl为线路l与特征线路集合首末端连线的夹角(弧度制)。若该输电通道整体平直，则αl会趋向于更小的值。因此M3指标越大，则输电通道平直度越大，布局易读性越好。
2）角分辨率指标M4：表示变电站引出线路的易辨识程度。
图 4中为同一拓扑下2个布局的局部，在左侧布局中线路l1和线路l2接近于重叠，造成线路难以区分，影响可读性，而右图 2线路更易于区分。这种交汇点相关的易读性指标可由交汇点的最小夹角之和表示：
{M_4} = \sum\limits_{i \in E} {\min ({\alpha _i})} (7) 式中：E为所有交汇点的集合；i为E中的一个交汇点；αi为点i所连线路所形成的最小夹角(弧度制)。该指标越大，说明交汇点的角分辨度越大，布局易读性越好。
2.2 综合易读性指标分析
单一评价指标可描述单线图布局的某一特性，然而若仅以此作为优化求解目标，并不能保证所得单线图的整体易读性。例如，单纯以节点分布均匀度大作为唯一求解目标，生成的图形可能节点分布均匀但交点过多，无实际价值。因此，在确定优化求解目标时，有必要根据场景要求，整合多项指标得出易读性的综合评价指标。本节将讨论3种输电网单线图的布局场景，这3种场景并不寻求概括工程中可能遇到的全部情况但具有一定代表性，可用于后续章节模型的验证。
2.2.1 场景1：均匀分布接线图
基于地理信息的输电网接线图由于负荷密集区变电站和线路众多，而非密集区变电站和线路稀少，不能一目了然地获取电网全貌，因此一般要求在此基础上制作布局均匀、变电站及线路不重叠、线路尽可能不交叉的输电网接线图。文献[14]提出了均匀接线图的概念，并论证了其优点。考虑到完整的全网地理坐标信息在图形数据交换中往往难以获得，因此本文仅探讨依赖拓扑信息生成的布局，并借鉴均匀接线图中均匀度的概念。对于布局均匀度的计算方法，文献[24]综合直线交叉数、所有边长之和与节点分布均匀度3项指标作为目标函数进行优化求解，其中边长之和这一指标与该文所选算法设置了最小单位距离有较强关联，在本文不限定数据集算法的前提下不适合作为通用指标。综上分析，本文提出均匀分布接线图的综合易读性评价指标ME：
{M_{\text{E}}} = {\lambda _1}\frac{{{n_v}}}{{5{M_1}}} + {\lambda _2}{M_2} (8) 式中：M1和M2分别为直线交叉数指标和节点分布均匀度指标；nv为变电站个数；m为节点分布均匀度计算中的总分区数。指标ME越大，说明布局的综合易读性越好。λ1和λ2为可变系数，推荐取λ1=0.2，λ2=0.8。
2.2.2 场景2：输电通道信息图
输电通道指跨区域连接两中心变电站的一组输电线路集合，在单线图上表现为一条连接两中心变电站的折线。输电通道的运行数据相比其他线路受到更频繁的关注，文献[15]指出，更平直的输电通道展示更有利于提高潮流等信息的易读性。因此，输电通道信息图的易读性综合指标除了需考虑整体布局的易读性外，还需要兼顾某些重点输电通道的运行信息易读性。其易读性评价指标MP可表示为式(9)。
{M_{\text{P}}} = {\lambda _1}\frac{{{n_v}}}{{5{M_1}}} + {\lambda _2}{M_2} + {\lambda _3}{M_3} (9) 该式综合了交叉数、均匀度2项指标用于评价整体布局效果，并引入了输电通道平直度指标用于评价特定输电通道的平直度。指标MP越大，说明布局的综合易读性越好。λ1、λ2和λ3为可变系数，推荐取λ1=0.1，λ2=0.1，λ3=0.8。
2.2.3 场景3：多电压等级一览图
随着电网规模的扩大，各级电网调度中心都需要管理大量多个电压等级的输电线路和变电站。多电压等级一览图不仅要求整体布局美观、易读性高，还要求在隐藏低电压等级变电站和线路后的主干电网布局同样具有较高的易读性。
根据多电压等级一览图的特点和前文所分析的易读性评价指标，本文提出多电压等级一览图的综合易读性评价指标Mo：
{M_{\text{O}}} = {\lambda _1}\frac{{{n_v}}}{{5{M_1}}} + {\lambda _2}{M_2} + {\lambda _3}\frac{{{M_4}}}{{{n_{\text{E}}}}} (10) 该式中综合了交叉数和均匀度指标，用于评价整体布局效果，并引入了特征线交汇点角分辨率指标用于评价高电压等级线路的布局效果，其中nE为交汇点数目，nv为变电站个数。指标Mo越大，说明布局的综合易读性越好。λ1、λ2和λ3为可变系数，推荐取λ1=0.1，λ2=0.1，λ3=0.8。
从以上分析可以看出，将2.1节中的易读性评价指标与目标场景特点相结合，可得出该场景下的综合易读性评价指标。该指标越大则表明所评价的布局越符合对应场景的预期。值得指出，本文方法并不局限于生成上述几种风格的单线图，工程中可能出现的场景不胜枚举且更为复杂，本节仅在研究范围内试对几种有代表性的布局场景进行分析，提出综合性评价指标，用于在后文中指导模型生成单线图布局，并验证是否符合预期要求。
3. 输电网单线图自适应生成方法
3.1 生成式模型与图神经网络
生成式模型指可以从训练样本中学习特征并生成类似但不完全相同样本的机器学习模型。例如文献[25-26]通过使用生成式模型学习大量的手写数字数据集，生成出近似于人类真实手写数字的图片。
近年来，基于启发式算法和深度学习算法构建的生成式模型已在文本生成[27]、音乐生成[28]、生物制药[29]和电力系统[30-32]等众多领域得到应用，变分自编码模型(variational autoencoder，VAE)和生成对抗网络模型(generative adversarial network，GAN)是最为广泛应用的生成式模型，它们有各自的优势。GAN具有更好的生成效果，然而由于训练过程中易出现不收敛、模式崩溃和梯度消失等问题，训练难度较大。VAE模型训练更为简单和稳定，文献[33]对VAE模型进行改进，提出一种可对潜在空间分布进行塑造的SW自编码模型(sliced- wasserstein autoencoder，SWAE)，本文使用SWAE作为基本模式进行模型的设计。
图神经网络是学习图结构数据的有效模型，近年来在社会关系网络和生物制药等领域被广泛运用。在表征学习领域有众多图神经网络模型被提出，如图卷积神经网络(graph convolutional network，GCN)[34]、GraphSAGE模型[35]和图同构网络(Graph Isomorphism，GIN)[36]等，它们在拓扑图分类等任务上表现优异。
提取数据集的特征是生成式模型的关键之一，为了更有效地提取输电网单线图的布局特征，并考虑到GIN在图分类等任务上比GCN具有更强的性能，使用GIN作为图神经网络的实现模式。
3.2 模型的结构
本文提出一种图自编码结构的深度学习模型，用于学习输电网单线图的生成模式，并利用学习到的布局特征生成适应给定评价指标要求的优化布局。模型由编码器、解码器和优化求解器构成，如图 5所示，其中A为由拓扑结构所决定的邻接矩阵(adjacency matrix)，邻接矩阵内各元素表示拓扑中该元素行列号对应的2节点间的连接关系，常用于表示图结构，P、X分别为对于同一布局L的节点坐标矩阵和成对欧式距离矩阵表示。数据集中的布局经过编码器编码为布局潜在空间z内的变量zL，该潜在变量经解码器生成新的布局L'的表示P'和X'。模型训练完毕后，将形成潜在空间z到可表示布局空间Γ的映射，优化求解器求得在给定评价指标下的最优布局L*的坐标表示P*，并绘制最优布局。
3.2.1 编码器
编码器的作用是将从输入样本布局中学习到的特征压缩到低维潜在空间z中，如图 5中步骤1所示，编码器使用GIN对输入样本布局进行特征提取。GIN利用到了拓扑结构信息，可以更有效地提取布局特征，其提取节点表征的过程可用如下迭代式表示：
h_v^{(k)} = ML{P^{(k)}}[(1 + {\varepsilon ^{(k)}}) \cdot h_v^{(k)} + {f^{(k)}}(\{ h_v^{(k - 1)}:u \in N(v)\} )] (11) 式中：h_v^{(k)}为点v在第k轮聚合下的特征向量，特殊地；h_v^{(0)}为输入的点特征；N(v)为点v的邻接节点的集合；f为用于合并邻接点集合N(v)特征的函数，通常可以使用取均值的方式合并特征；ε表示点v的权值，可以为固定参数也可以作为学习参数在训练过程中更新。步骤2中，MLP表示多层感知器，将GIN提取到的高维点级别(Node Level)特征进一步降维到二维点级别特征。
编码器提取图级别(Graph Level)的特征，因此需要将MLP输出的点级别特征提取为图级别特征，步骤3通过均值池化(mean pooling)的方式，将点级别特征聚合为图级别特征zL。不妨将图级别特征的潜在空间设定为二维，则zL为二维向量，以(xz, yz)表示。
3.2.2 解码器
解码器将图级别特征zL解码成布局的节点坐标信息。设节点的数目为n，zL为潜在空间中的二维向量，图 5的步骤4中，One-hot层首先将zL按行拓展为维数为n×2的矩阵，并与n阶单位矩阵拼接形成大小为n×(n+2)的矩阵，此时该矩阵的行向量作为点级别特征输入到GIN，经过GIN降维成二维点级别的特征，并作为每个节点的横纵坐标，形成布局。为排除结构等价节点顺序对模型重构误差计算造成的影响，如图 5中的步骤5所示，利用本文1.2节所述布局差异对比的方法构建GW层，将模型输入布局中的节点重新排序以消除结构等价节点顺序的影响，并输出为坐标矩阵P ′和成对欧氏距离矩阵形式X ′。
3.2.3 优化求解器
潜在空间二维变量zL经解码器可形成潜在空间到布局空间的映射函数f(zL)→P′，给定评价指标对布局进行评分可表示为函数E(P′)→S，由此可得潜在变量到布局评分的函数F(zL)→S。因此，对布局进行自适应生成的过程，即为对该函数进行最值寻优的过程。
如图 5中的步骤6所示，优化求解器首先根据训练完成的解码器和评价函数求解在潜在空间中可使输出布局评分最高的最优潜在变量zL*。其后，在步骤7中，将该最优潜在变量zL*输入解码器，输出即为模型学习到的表征空间内最符合给定评价指标E的最优布局P*。最后，将P*作为节点坐标矩阵绘得最优布局。
3.3 数据集的获取
丰富、有代表性的数据集可以帮助模型学习到更有效的布局输出策略。如表 1所示，本文采用了FR算法(Fruchterman Reingold，FR)、FA算法(Force Atlas，FA)、FA2算法(Force Atlas 2，FA2)和多级力导算法(multi-level force directed，MFD)等4种常见的力导算法作为生成数据集的基础算法。
表 1 数据集所用算法及参数范围Table 1. Algorithms and parameters range used in training set表 1中列举了的4种所用到的算法及其参数取值范围，本文采用组合生成、参数遍历与参数优选相结合的模式生成训练数据。对于给定电网拓扑，根据表 1中的参数范围等间距进行参数扫描，遍历各种参数组合并生成对应的布局。同时，由于力导类算法在某些参数组合下生成布局的易读性差，此类样本若加入数据集不仅会增加训练过程的计算量和训练难度，还会让模型学习到更多易读性差的表示，因此，有必要进行参数优选，将易读性明显较差的数据从训练样本中剔除。具体方法：首先生成22000个布局，并统计各布局直线交叉数，生成结束后剔除直线交叉数最大的2000个样本，最终总数据集样本数为20000个。
3.4 模型的训练与输电网单线图的生成
3.4.1 模型的训练
解码器和编码器组成了本模型的自编码器结构，输入为布局的成对欧氏距离矩阵X，经过自编码器重构后输出重构布局的成对欧氏距离矩阵X'。自编码损失函数采用文献[30]中所提出的SWAE中的SW损失函数，使用一维投影作为验证2个分布紧密度的方法，进而使潜在变量的分布在迭代过程中逼近任意预期的分布。SW损失函数如下式所示：
S{W_c}(p, q) = \frac{1}{{L \cdot M}}\sum\limits_{l = 1}^L {\sum\limits_{m = 1}^M c } ({\theta _l} \cdot {p_{i[m]}}, {\theta _l} \cdot {q_{j[m]}}) (12) 式中：p和q为2个d维分布中的采样点；M为采样点数目；θl为d维空间均匀分布中随机采样投影形成的切片；L为切片数目。i[m]、j[m]分别为第m个采样点在θl·pi[m]和θl·qj[m]排序中的序号；c为分布间的转移损失函数，此处使用2-范数损失函数。如图 6所示，左侧为目标分布，使用SW损失函数进行模型训练后，潜在空间实际分布如右图所示，可见潜在空间的分布将随着训练的进行逐步逼近目标分布。
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图 6 SWAE目标分布与潜在空间分布Figure 6. Target distributions and potential spatial distributions in SWAE若将目标分布ZP设置为{(x，y)|−1≤x≤1，−1≤y≤1}空间(记为[−1, 1]2)下的均匀分布，则模型的变分损失可表示为：
{L_Z} = SW({Z_L}, {Z_P}) (13) 式中：ZL为潜在变量的分布；ZP为潜在变量的预期分布；训练过程中ZL将逐渐逼近ZP的分布，即模型训练完成后潜在变量服从[−1, 1]2空间下的均匀分布。这将带来2个好处：其一，在优化求解器中自变量的范围被限定于[−1, 1]2区域内，取值边界的限定有利于最值的求解。其二，将潜在变量看做是[−1, 1]2区域内的坐标，则该区域内点的集合即可表示潜在空间，可借助此特性构建所见即所得的生成界面。
本模型损失函数可表示为：
loss = ||X - X'|{|^2} + \beta {L_Z} (14) 总损失由重建损失和变分损失构成，重建损失反映模型还原布局的能力，变分损失反映潜在空间分布与预期分布的吻合程度。式(14)中β为变分损失的系数，训练过程中前10轮取10，之后的轮数里逐轮递增10%，这样是为了兼顾在训练初期变分误差不过多影响布局特征学习的同时，保证最终ZL的分布更好逼近ZP的分布。
3.4.2 自适应最优布局生成
当模型完成训练后，解码器完成从潜在空间二维变量zL到布局P'的映射。在3.2.3节中已论述存在由潜在变量映射到布局评分的函数F：F(zL)→S，对于给定评价指标E：E(P')→S，可求解令布局评分S取最值时的最优潜在变量zL*，在评价指标E下的最优布局即为：
{P^*} = f(z_{\text{L}}^*) (15) 利用梯度下降、粒子群和模拟退火等算法均可实现对该最优布局的求解。变分自编码器的生成结果具有平滑、连续的特点，这些特性都有利于最值的求解。最后，将求得的最优潜在变量zL*输入解码器，即可得最优布局的节点坐标矩阵形式P*，进而绘得最优布局。
4. 算例验证与分析
4.1 数据集的准备与模型的训练
采用本文所提出的方法对某省级实际电网拓扑进行自动布局效果验证，该拓扑共有339个变电站、480条线路。本文仿真环境采用客户端/服务端模式。数据集准备与模型训练部分采用Python语言基于Tensorflow 1.15框架开发，运行于服务器，服务器配置为CPU：Intel Xeon 2.2GHz/GPU：Nvidia K80。布局自适应生成及相关对比实验采用JavaScript语言基于浏览器平台开发，客户机配置为CPU：Intel Core i5-10210U 1.6GHz/ GPU：Nvidia GeForce MX350。
图 7所示为训练过程中损失随训练轮数的变化趋势。训练过程中，重建损失和总损失均在前几轮迅速下降，重建损失在第15轮左右降到0.4附近，之后趋势放缓，并在第50轮左右于0.2附近趋于稳定。重建损失反映模型还原布局的能力，训练过程中重建损失的持续下降说明模型的布局生成能力逐渐增强。
数据集生成耗时4h09min42s，模型训练耗时1h05min19s。虽然数据集与模型的训练耗时比较长，但本文方法数据集准备和模型的训练过程无需人工参与，且在工程应用中仅当系统首次导入拓扑需要进行模型的训练，后续变更要求后无需重复训练，布局自适应生成速度均为秒级。
4.2 生成效果分析
4.2.1 布局潜在空间可视化
模型完成训练后，解码器将学习到从潜在变量zL到布局P'的映射关系。模型可生成的布局越丰富，则代表模型越有效地学习到了数据集中的布局特征。二维潜在变量zL取值在[−1, 1]2范围内，可以将潜在变量zL的取值(x, y)看作是二维平面中的点，对布局潜在空间进行等间隔采样得到zL的16个采样值(xi, yi)，并通过解码器生成对应布局，最终得到如图 8所示由布局构成的4×4网格，通过该网格图可以了解模型可生成的布局样式。值得说明的是，二维潜在变量zL可取[−1, 1]2范围内任意值，因此实际可生成布局的多样性比图 8中4×4网格所展示的更为丰富。
对图 8进行分析，可以得出以下结论：首先，图中的布局与数据集中由力导算法所生成的布局相似，说明模型有效地学习到了数据集中的布局特征。其次，在潜在空间上接近的2个点其布局也相似。最后，由于潜在空间是连续的，因此模型可生成的布局是无限的，模型可生成已有数据集中不存在的样本。
4.2.2 布局潜在空间易读性指标的可视化
模型训练完成后，解码器具有了生成布局的能力，可使用第2节中的电力系统易读性评价指标对布局空间进行选优，进而得到某一指标下的最优布局。如3.2.3节所述，对于每种给定的评价标准均存在由潜在变量到评分的映射函数F(zL)→S，据此可绘得函数热图。
如图 9所示，分别使用直线交叉数、节点分布均匀度、输电通道平直度和角分辨率4项指标作为评价函数，绘制函数F(zL)→S的热图。在每幅热图中，各像素点代表该位置潜在变量对应布局得分。一般认为直线交叉数小、节点分布均匀度高、输电通道平直度高和角分辨率高的布局为更优的布局。
4.3 与现有算法布局效果对比
作为对比，图 10中4幅布局分别为FR、FA、FA2、和MFD 4种现有算法在采用推荐参数设置情况下，针对该省级实际电网拓扑所生成的自动布局。
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图 10 现有算法推荐参数生成结果Figure 10. Layouts generated by existing algorithms with preset parameters图 11为采用本文方法分别针对均匀分布接线图、输电通道信息图和多电压等级一览图的最优指标自适应生成的优化布局。将布局结果与本文2.2节中设计的场景要求进行对比，在图 11(a)中，单线图节点分布均匀并且线交叉数少，符合文中对均匀分布接线图的预期要求；在图 11(b)中，粗线为所选输电通道，其平直度良好，符合输电通道信息图的预期要求；图 11(c)中粗线代表较高电压等级的主干输电网，可见生成的布局同时保证了全拓扑和主干拓扑的良好易读性。从3个实验场景布局效果来看，本文方法依据给定的评价标准，自适应生成的优化布局均符合第2.2节中所设计的对应场景预期要求，且明显优于图 10所示由布局算法池中现有算法在默认参数下生成的布局。
表 2交叉对比了本文方法针对3种场景生成的布局在各综合评价指标下的得分。从结果可以看出，同一布局在不同综合评价指标下得分会有所差异，例如场景1对应的布局在均匀分布接线图指标下获得了最高评分，但在多电压等级一览图指标下得分较低，这是由于综合评价指标因场景要求的侧重点的不同而有一定差异。场景1、场景2和场景3对应的布局分别在均匀分布接线图指标、输电通道信息图指标和多电压等级一览图指标下得到了最高的评分，这表明模型实现了按预期生成满足给定场景要求布局的目的。
表 2 各场景布局综合评价指标对比Table 2. Comparison of comprehensive evaluation indexes of each scene layouts综合评价指标 场景1 场景2 场景3 均匀分布接线图指标 1.31 0.77 1.19 输电通道信息图指标 1.89 2.68 1.97 多电压等级一览图指标 1.86 1.45 2.03 图 12以多电压等级一览图为例，选用梯度下降法作为模型优化求解器的基础算法，将本文方法与4种现有方法的求解速度和布局质量进行了对比。从图中可以看出本文方法求解速度较为迅速，仅用时0.67s即完成求解。此外，本文方法寻优过程中布局质量稳步上升，且最终生成布局得分更优。
如表 3所示，将本文方法自适应生成的布局在不同场景指标下的得分，与数据集所用的4种现有算法所生成的布局得分进行对比，可见自适应生成的布局在给定的各类场景评价标准下的评分，均优于现有算法的评分，体现了本文所提方法的优越性。
表 3 各算法生成的布局的评价指标对比Table 3. Comparison of evaluation indicators of layouts generated by existing algorithms评价指标 FA FA2 FR MFD 本文方法 均匀分布接线图 0.62 0.90 0.75 0.45 1.31 输电通道信息图 2.15 2.53 1.75 2.38 2.68 多电压等级图 1.70 1.81 1.24 1.59 2.03 4.4 与数据集中最优布局对比
本文方法使用智能模型从数据集中学习布局的特征，并针对给定的应用场景要求生成优化布局。值得注意的是，通过对数据集遍历同样可以得到数据集中评分最高的布局，即从20 000个训练样本中逐个比对，然后选出的最优布局。有必要比较使用这2种方式生成优化布局的优劣。
使用均匀分布接线图、多电压等级一览图和输电通道信息图 3种应用场景的易读性评价指标最高作为优选标准，分别采用对数据集遍历的方式和采用本文模型自适应生成的方式生成相应的优化布局，得到表 4与表 5的实验结果。
表 4 数据集遍历法与自适应生成布局质量对比Table 4. Comparison of layout quality between data set traversal method and adaptive generation method布局优选方法 遍历法最优布局 本文方法最优布局 均匀分布接线图 1.05 1.31 输电通道信息图 2.58 2.68 多电压等级图 2.00 2.03 表 5 数据集遍历法与自适应生成布局资源消耗对比Table 5. Comparison of cost between data set traversal method and adaptive generation method对比项目 数据集遍历 模型自适应生成 生成耗时 225.5秒 1.7s 空间占用 638.8MB 56.2kB 从表 4中可见，在生成的布局质量方面，本文模型通过寻优生成布局的质量在3组实验中均高于通过数据集遍历法找到的最优布局的质量。模型通过训练学习到了更为丰富的生成能力，因此在对某些指标寻优时，更容易找到更优解。
从表 5中可见，数据集遍历搜索最优布局的过程相比本文模型自适应生成的过程，耗时逾百倍，而空间占用超过万倍。如此悬殊的差异主要是由于遍历搜索的方式每次需要检索数万个数据集并计算指标得出最优结果，同时还需在计算机中储存完整的数据集；而本文方法仅需提取学习到的布局特征并以权重文件的形式储存，生成速度快，空间占用极少。
数十kB级别的空间占用使得本模型可运行于浏览器平台并轻量地在不同系统间、服务端与客户端间传输，极大扩展了应用场景。此外，原始数据集布局间无显著关联性，而本文模型可构建如图 8所示的所见即所得的概览界面，整体展示各类不同的布局样式。综上，相比数据集遍历寻优的方式，本文所提方法在生成速度、资源占用和布局质量上均存在一定优势，且更具实用意义。
5. 结论
针对现有自动生成方法对不同场景的适应性不强的问题，本文提出了一种基于图自编码器的输电网单线图布局自适应生成方法。在建立输电网单线图数学模型和布局质量量化评价指标的基础上，构建了一种图自编码结构的深度学习模型，学习输电网单线图布局的生成模式，并利用学习到的布局特征生成适应给定评价指标要求的优化布局。最后，以某省级实际电网拓扑为算例，构建了3种输电网单线图需求场景，验证了该方法快速自适应生成满足场景要求布局的能力。本文所提方法在电网可视化、态势感知等领域有较好的应用前景。
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图 2 调整编号顺序对成对欧氏距离矩阵的影响
Figure 2. Impact of adjusting the number sequence on the pairwise distance matrix
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图 6 SWAE目标分布与潜在空间分布
Figure 6. Target distributions and potential spatial distributions in SWAE
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图 10 现有算法推荐参数生成结果
Figure 10. Layouts generated by existing algorithms with preset parameters
表 2 各场景布局综合评价指标对比
Table 2 Comparison of comprehensive evaluation indexes of each scene layouts
综合评价指标 场景1 场景2 场景3 均匀分布接线图指标 1.31 0.77 1.19 输电通道信息图指标 1.89 2.68 1.97 多电压等级一览图指标 1.86 1.45 2.03 
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表 3 各算法生成的布局的评价指标对比
Table 3 Comparison of evaluation indicators of layouts generated by existing algorithms
评价指标 FA FA2 FR MFD 本文方法 均匀分布接线图 0.62 0.90 0.75 0.45 1.31 输电通道信息图 2.15 2.53 1.75 2.38 2.68 多电压等级图 1.70 1.81 1.24 1.59 2.03
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表 4 数据集遍历法与自适应生成布局质量对比
Table 4 Comparison of layout quality between data set traversal method and adaptive generation method
布局优选方法 遍历法最优布局 本文方法最优布局 均匀分布接线图 1.05 1.31 输电通道信息图 2.58 2.68 多电压等级图 2.00 2.03
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表 5 数据集遍历法与自适应生成布局资源消耗对比
Table 5 Comparison of cost between data set traversal method and adaptive generation method
对比项目 数据集遍历 模型自适应生成 生成耗时 225.5秒 1.7s 空间占用 638.8MB 56.2kB
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