Fragility Analysis of Substation Equipment Based on Ground Motion Clustering
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摘要: 变电站设备地震易损性分析中需要计算大量地震动输入下的结构响应，且对于不同地震动常采用同一条易损性曲线。文中提出基于地震动聚类的易损性分析方法，可在减少地震动样本输入的同时保证结果的准确性；并且可将地震动分类，得到各类地震动的易损性曲线。首先通过主成分分析得到综合多个地震动参数的主成分指标；将主成分指标作为聚类指标，通过k-means聚类算法，对地震动时程记录分类。基于聚类结果，选择了少量典型地震动代替全部地震动用来计算某1100kV变压器套管的易损性曲线；之后，分别计算每一类地震动的易损性曲线并对比分析。结果表明：基于聚类结果选取的少量典型地震动样本对于全部样本具有较好的代表性；采用该方法输入少量典型样本，便可得到比较准确的易损性曲线；各类地震动的易损性曲线差异较大，当已确定地震动的归类，采用对应该类地震动的易损性曲线评估变电站设备的失效概率更准确。Abstract: In the seismic fragility analysis of substation equipment, it is necessary to calculate the structural responses under the inputs of a large number of ground motions, and a same fragility curve is often used for different ground motions. In this paper, a fragility analysis method based on ground motions clustering was proposed to reduce the inputs of ground motion samples and to ensure the accuracy of the results. And the ground motions were classified, the fragility curves of multiple ground motions were obtained. Firstly, the principal component indicators combining multiple ground motion parameters were obtained by principal component analysis. The principal component indicators were used as the clustering indicators to classify the time history records of ground motions through k-means clustering algorithm. Based on the clustering results, a small number of typical ground motions were selected instead of all ground motions to calculate the fragility curve of a 1100kV transformer bushing. After that, the fragility curves of each type of ground motions were calculated and compared. The results show that the small number of typical ground motion samples selected based on clustering results can represent all samples well. Using this method, a small number of typical samples can be input to get a relatively accurate fragility curve. In addition, the fragility curves of various kinds of ground motions differ greatly. When the type of ground motion has been determined, it is more accurate to use the fragility curve corresponding to the type of ground motion to assess the failure probability of substation equipment.
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0. 引言
变电站设备在以往的地震中遭受破坏，表现出较高的易损性[1-3]。电力系统一旦受损，不仅会造成重大经济损失，而且将严重影响社会运作，导致灾后救援和重建工作更加困难[4-5]。因此，对地震中变电站设备的易损性研究尤其重要。
电气设备易损性分析主要有3种方法：震害统计分析方法、试验方法及计算分析方法[6]。震害统计分析法方面，熊明攀、贺海磊通过统计汶川地震中变电站地震灾害历史记录，采用统计回归方法拟合了多种变电站设备的易损性曲线[6-7]。国外，Anagnos基于加州变电站地震灾害详细数据，绘制了变电站设备失效概率曲线[8]。Straub改进了经验脆弱性模型，降低了地震观测与结构响应之间的统计依赖性[9]。试验法方面，李圣等通过对绝缘子的试验，得到其动力特性与弯曲刚度，进而结合有限元分析得到易损性曲线[10]。Ahmad对多座框架结构进行振动台试验并建立破坏等级，得到其地震损失曲线[11]。
震害统计法难于统计资料不足且历史资料具有时效性，而试验法的时间与经济成本较高[6]。因此，计算分析法得到广泛应用。
国外，Zareei等建立变压器的有限元模型，输入99组地震动进行时程计算，得到两种损坏状态下的易损性曲线[12]。H. Hwang等基于地震–场地–桥梁的非线性时程计算，研究了美国中东部混凝土连续桥的易损性曲线[13]。国内，文波等考虑电气设备与主厂房耦联作用，通过有限元计算100组地震动作用下主厂房的结构响应，得到其易损性曲线[14]。刘振林等以500kV避雷器为例，通过有限元模型计算，并考虑结构尺寸、场地条件的影响，得到破坏形式为瓷套断裂的避雷器易损性曲线[15]。王东超指出地震动输入样本不同，得到的易损性曲线差异较大，通过100条地震记录说明对于易损性分析，基于地震信息选波更合适[16]。
通过计算分析法对电气设备进行易损性分析逐渐成为电力系统抗震研究热点。然而，为考虑地震动的不确定性，需根据大量地震动输入下的有限元计算结果得到易损性曲线[17]，时间成本高。此外，易损性曲线只考虑地面加速度峰值(peak ground acceleration，PGA)单一变量，未考虑其他地震动参数对曲线的影响，对差异较大的多类地震动采用同一条易损性曲线估计失效概率，影响结果精确性。
聚类分析可基于样本的多个参数的统计特征对大量样本分类，从而可从每一类中选择少量具有代表性的样本组成典型样本库代替整体样本，对目标问题进行分析[18]。这对上述问题的解决提供了部分思路。
本文参考振动台试验结果建立精确的变压器套管模型；提出基于地震动聚类的易损性分析方法，用少量典型地震动样本代替全部样本，降低计算成本同时保证结果准确性。此外，根据聚类结果，计算了各类地震动的易损性曲线，针对某类地震动采用对应类型的易损性曲线，对变电站设备实现更准确的易损性评估。
1. 地震动记录与地震动参数
1.1 地震动记录的选取
综合考虑中国抗震规范[19]和ATC-63[20]的地震动选取建议，以及相关文献[16, 21-22]。为充分反映地震动的随机不确定性，本文根据地震信息，从美国PEER地震库[23]共筛选139条天然地震动记录，作为易损性分析的基准样本库。这些地震动样本将用于后文变压器套管在目标场地(Ⅱ类场地)的易损性分析，其地震信息筛选条件如下：
1）Vs30(30m土层平均剪切波速)位于区间265~ 550m/s。美国规范[24]采用Vs30作为分类依据，该Vs30区间对应于中国规范[19] Ⅱ类场地。
2）震中距位于区间20~100km，震级位于区间5.5~6.5级。文献[16]推荐该区间范围用于易损性分析，且PEER地震库中大部分地震位于此区间。
3）均匀选取各地震事件的地震动记录，避免选取记录集中于某一场地震，同一地震有多条地震动记录时选择PGA较大记录。易损性分析前对地震动PGA归一化，可避免该条件影响分析准确性。
1.2 地震动参数计算
根据地震动三要素，选择多个常见地震动参数，并分类，如表 1所示，文献[25]研究表明这些参数与表征地震对电力系统破坏能力相关[25]。其中，符号Sa(2%, T1)表示在阻尼比为2%时，加速度反应谱在结构基本周期T1处的加速度值，其余参数的常用英文简写如表 1所示。
表 1 常见地震动参数及其分类Table 1. Common ground motion parameters and their classification序号 参数 英文简写 类别 1 峰值速度 PGV 幅值相关类 2 标准累积绝对速度 CAVstd 3 峰值位移 PGD 4 Arias强度 Ia 5 能量持时(90%) td 持时相关类 6 动力系数最大值 βmax 加速度反应谱相关类 7 结构基本周期对应谱加速度 Sa(2%, T1) 8 反应谱峰值对应的周期 Tp 9 有效峰值加速度 EPA 一般情况下，这些参数(Tp例外)越大，地震灾害越严重。本文研究对象为某1100kV变压器套管，该变压器抗震设防目标加速度峰值为0.3g，故将基准样本库中的地震动加速度时程记录统一调幅为PGA = 0.3g，分别计算每条地震动记录的上述9个参数，并对数据进行标准化处理，以去除参数的单位、数量级不同带来的影响。计算结果用矩阵形式表示，以方便下文表述，如式(1)、(2)所示：
{{\boldsymbol{A}}_{m \times n}} = [{{\boldsymbol{a}}_1}, {{\boldsymbol{a}}_2}, \cdots , {{\boldsymbol{a}}_j}, \cdots , {{\boldsymbol{a}}_n}] (1) {{\boldsymbol{a}}_j} = [{a_{1j}}, {a_{2j}}, \cdots , {a_{ij}}, \cdots , {a_{mj}}]' (2) 式中：m、n分别为基准样本库中地震动样本总数和每个样本具有的地震动参数个数，本文m = 139，n = 9；将表 1地震动参数依次用符号a1、a2、…、aj、…、an表示；aij为第i条地震动的aj参数，aij(i = 1, 2,…, m)组成了列向量aj(粗体表示向量矩阵)，aj(j = 1, 2, …, n)组成了参数矩阵Am×n。
2. 地震动记录主成分分析与聚类
2.1 地震动参数的主成分分析
通过统计学中的相关系数式(3)计算地震动参数之间的相关系数，相关系数矩阵Rn×n如表 2所示。
{r_{ij}} = r({{\boldsymbol{a}}_i}, {{\boldsymbol{a}}_j}) = \frac{{{\rm{Cov}}({{\boldsymbol{a}}_i}, {{\boldsymbol{a}}_j})}}{{\sqrt {{\rm{Var}}[{{\boldsymbol{a}}_i}] \cdot {\rm{Var}}[{{\boldsymbol{a}}_j}]} }} (3) 表 2 地震动参数的相关系数矩阵RTable 2. Correlation coefficient matrix of ground motion parameters相关数 PGV CAVstd PGD Ia td βmax Sa Tp EPA PGV 1.00 0.60 0.85 0.69 0.39 0.10 0.35 0.64 0.16 CAVstd 0.60 1.00 0.63 0.97 0.84 0.44 0.40 0.25 0.51 PGD 0.85 0.63 1.00 0.69 0.47 0.15 0.29 0.46 0.22 Ia 0.69 0.97 0.69 1.00 0.71 0.47 0.45 0.32 0.51 td 0.39 0.84 0.47 0.71 1.00 0.22 0.18 0.14 0.32 βmax 0.10 0.44 0.15 0.47 0.22 1.00 0.50 -0.11 0.70 Sa 0.35 0.40 0.29 0.45 0.18 0.50 1.00 0.27 0.66 Tp 0.64 0.25 0.46 0.32 0.14 -0.11 0.27 1.00 -0.13 EPA 0.16 0.51 0.22 0.51 0.32 0.70 0.66 -0.13 1.00 式中：r(ai, aj)为ai与aj的相关系数；Cov(ai, aj)为ai与aj的协方差；Var[ai]、Var[aj]分别为ai、aj的方差；rij为矩阵Rn×n中第i行j列的元素。
该相关矩阵Rn×n表明9个参数之间的相关性，其中呈对角线的俩参数自相关，其他位置参数互相关。正值表示正向相关，负值表示负向相关；绝对值大小表明相关性强弱。一般相关系数的绝对值大于0.8，可认为2个参数有强的相关性。从表 2可知，多个参数两两之间有相关性，存在部分信息重叠，例如PGV与PGD等。
为避免各参数之间存在信息重叠，以及避免仅采用少量几个参数作为聚类指标导致信息缺失，需要进行主成分分析，实现降维。
主成分分析是将多个参数指标综合为少量主成分指标的经典统计分析方法，可用少量指标尽可能地反映原始多个指标信息[26]。主成分指标p为n个常见地震动参数a1、a2…、aj、…、an的线性组合，如式(4)所示，各主成分之间线性不相关。
\left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{p}}_1} = {{{\boldsymbol{v'}}}_1}{\boldsymbol{A}} = {v_{11}}{{\boldsymbol{a}}_1} + {v_{21}}{{\boldsymbol{a}}_2} + \cdots + {v_{j1}}{{\boldsymbol{a}}_j} + \cdots + {v_{n1}}{{\boldsymbol{a}}_n} \\ {{\boldsymbol{p}}_2} = {{{\boldsymbol{v'}}}_2}{\boldsymbol{A}} = {v_{12}}{{\boldsymbol{a}}_1} + {v_{22}}{{\boldsymbol{a}}_2} + \cdots + {v_{j2}}{{\boldsymbol{a}}_j} + \cdots + {v_{n2}}{{\boldsymbol{a}}_n} \\ \quad \vdots \\ {{\boldsymbol{p}}_n} = {{{\boldsymbol{v'}}}_n}{\boldsymbol{A}} = {v_{1n}}{{\boldsymbol{a}}_1} + {v_{2n}}{{\boldsymbol{a}}_2} + \cdots + {v_{jn}}{{\boldsymbol{a}}_j} + \cdots + {v_{nn}}{{\boldsymbol{a}}_n} \\ \end{gathered} \right. (4) 式中：p1、p2、…、pn为n个主成分指标(式中用粗体表示向量)，是原始地震动参数a1、a2、…、aj、…、an的线性组合；v1、v2、…、vn为线性组合系数，称为主成分系数。
类比于振型分解反应谱法，一般只需要求结构的前几阶振型即可满足精度要求，同样，主成分分析目的是降维，一般选用前l(l < n = 9)个主成分而不采用全部主成分，l的取值根据特征值与主成分累计方差贡献率来最终判定，对于标准化处理后的数据，其计算式如式(5)、(6)所示。
{\boldsymbol{Rv}} = \lambda {\boldsymbol{v}} (5) c = \frac{{\sum\limits_{j = 1}^l {{\lambda _j}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} }} (6) 式中：v为特征向量(也是主成分系数)；λ为特征值；c为累计方差贡献率；l为选取的主成分个数；n为地震动参数个数，也是相关系数矩阵Rn×n的阶数，显然，n阶矩阵有n阶特征值。
对本文基准样本库中全部地震动的上述常见地震动参数进行主成分分析，其主成分的特征值以及累计贡献率如表 3所示，由此确定l取值。
表 3 主成分指标的特征值与累计贡献率Table 3. Characteristic value and cumulative contribution rate of principal component index主成分 特征值 方差百分比/% 累积贡献率/% p1 4.62 51.30 51.30 p2 1.91 21.24 72.54 p3 1.10 12.19 84.73 p4 0.50 5.51 90.24 p5 0.39 4.33 94.57 p6 0.19 2.17 96.74 p7 0.19 2.07 98.80 p8 0.10 1.11 99.92 p9 0.01 0.08 100.00 一般选择特征值大于1或累计贡献率达到某程度(一般取70%或80%以上)的主成分[26]。如表 3所示有前l = 3个特征值大于1的主成分指标；其累计贡献率84.73%，这表明3个指标反映了原9个参数的大部分信息。采用前3个主成分指标作为聚类指标，避免了仅采用少量几个参数作为聚类指标导致的信息缺失，同时解决各参数之间存在信息重叠的问题。
表 4列出主成分分析的载荷矩阵(又称为成分矩阵)，载荷值表明了主成分指标与原始地震动参数的相关关系[26]。如表 4所示，主成分p1主要突出了CAVstd与Ia这2个幅值相关参数，其载荷值较大且为正，则这2个参数在主成分p1上呈正向分布；即在p1坐标正向，p1越大，CAVstd与Ia越大，故称p1为幅值主成分。同理，主成分p2突出了βmax、EPA、Tp这3个反应谱相关参数，其中，βmax、EPA在主成分p2上呈正向分布，Tp在主成分p2上呈负向分布；即在p2坐标正向，p2越大，βmax、EPA越大，Tp越小，故称p2为反应谱主成分。主成分p3突出了Sa(2%, T1)与td这2个参数，Sa(2%, T1)在主成分p3上呈正向分布，td呈负向分布；故可称p3为基频主成分。
表 4 主成分分析的载荷矩阵Table 4. Component matrix of principal component analysis原参数 主成分p1 主成分p2 主成分p3 PGV 0.765 -0.511 0.203 CAVstd 0.925 0.033 -0.328 PGD 0.775 -0.414 0.033 Ia 0.945 -0.006 -0.172 td 0.715 -0.033 -0.582 βmax 0.517 0.681 0.140 Sa(2%, T1) 0.606 0.353 0.574 Tp 0.416 -0.647 0.455 EPA 0.604 0.685 0.152 计算本文基准样本库中每条地震动记录的主成分指标p1、p2、p3，作为聚类指标。
2.2 地震动记录聚类
将基准样本库中全部地震动记录根据其主成分指标p1、p2、p3的接近程度分类，相似度大的聚为一类。本文采用k-means聚类算法[18]，这是一种经典动态聚类算法。地震动样本的聚类流程如图 1所示，最终可将样本分为k类。
图 1中的距离采用欧氏距离，用来描述样本间的相似度。设地震动样本g的l维指标为g =(p1, p2, …, pl)，样本g'的l维指标为g' = (p'1, p'2, …, p'l)。则g与g'之间的欧氏距离式如式(7)所示：
d(g, g') = \sqrt {{{({p_1} - {{p'}_1})}^2} + {{({p_2} - {{p'}_2})}^2} + \cdots + {{({p_l} - {{p'}_l})}^2}} (7) 式中d(g, g')表示g、g'之间的欧氏距离。
使用误差平方和准则函数来评价聚类性能，表示聚类的畸变程度。给定样本集G，假设G中的样本可聚类为k类，即G包含k个分类子集G1、G2、…、Gk；各个分类中样本数分别为m1、m2、…、mk；各个分类的聚类中心点分别为e1、e2、…、ek；则误差平方和准则函数即畸变程度如式(8)所示。
D = \sum\limits_{i = 1}^k {\sum\limits_{g \in {G_i}} {{{(d(g, {e_i}))}^2}} } (8) 式中D为误差平方和，反映聚类的畸变程度。该值越小，聚类效果越好。
为确定基准样本的最优分类数k，分别令k =1, 2,…, 10，进行聚类分析并计算D，如图 2所示。
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图 2 畸变程度与分类数k关系图Figure 2. Relationship of distortion degree and classification number k从图 2可知，随着分类数k逐渐增大，畸变程度(误差平方和)逐渐减小。根据肘部判别法，由图 2，当k = 3, 4, …, 7，曲线的斜率接近，近似为直线，当k > 7时，畸变程度下降缓慢，曲线斜率接近水平，故取k = 7时，聚类效果较好且分类数较经济。文献[27]表明也可通过Sturges经验公式[28]估计k，结果为8左右。考虑到如图 2所示，k = 7或8效果优化程度有限且k = 8时部分分类中样本数过少，综合俩两种方法最终选择k = 7。
k = 7时基准样本库的聚类结果如图 3所示，地震动样本用3维坐标点表示，主成分指标p1、p2、p3作为坐标轴。主成分值接近的样本距离近，被分为一类。每一类的样本聚成团簇状。其中，第3、5、6类中的样本数较多，分别为49、20、46个。聚类结果将用于后文易损性分析。
3. 基于聚类结果的易损性分析
3.1 变压器套管仿真分析与试验验证
易损性分析对象为某型1100kV特高压瓷质变压器套管。该套管关键设计参数如表 5所示，套管设计图如图 4(a)所示。
表 5 变压器瓷套管设计参数Table 5. Design parameters of transformer porcelain bushing部件 关键参数 数值 空气侧套管 长度/mm 11005 重心与法兰高度差/mm 4645 质量/kg 5073 根部外径/mm 640 根部内径/mm 550 设备整体 长度/mm 13315 质量/kg 7135 ![]()
图 4 套管设计图与有限元模型图Figure 4. Design drawing and finite element model drawing of the transform bushing法兰、连接套筒材料为铸铝，弹性模量65GPa，极限抗拉强度取130MPa；空气侧套管、油侧套管为陶瓷材料，弹性模量106GPa，极限抗拉强度取50MPa。根据GB 50260—2013规范[29]要求，重要电力设施提高一度设防，该套管抗震设防烈度提高后为8度，设计基本地震加速度0.3g。按规范[29]要求，考虑变压器箱对地震加速度的放大系数为2，故套管的目标加速度峰值为0.3 × 2 = 0.6g。
本文遵照设计图纸建立了变压器套管有限元模型，如图 4(b)所示。其中，陶瓷套管、连接套筒、导电杆、金属法兰均采用C3D8R实体单元建模；法兰与连接套筒处加劲肋、刚性支架顶板采用S4R壳单元建模。
通过有限元软件分析该套管的动力特性。计算得其X方向前两阶频率为2.34、14.32Hz。其中，第1阶振型表现为套管整体绕Z轴弯曲，第2阶振型为套管X-Y平面内(弓形)弯曲变形，坐标轴方向如图 4(b)所示。有限元计算所得频率与振型和振动台试验结果[30-31]一致，说明有限元模型较好地反映了真实套管，该建模过程准确。
输入振动台试验的人工波，调幅使套管根部连接套筒处加速度峰值为0.3 × 2 = 0.6g。通过动力时程计算，连接套筒(图 4(b)中红色部分)底板与加劲肋端部连接处主拉应力超过极限抗拉强度，该处发生破坏。这与振动台试验结果(连接套筒底板破坏，出现沿加劲肋发展的裂缝[30-31])一致。
因此，以连接套筒底板与加劲肋端部连接处，主拉应力超过极限抗拉强度，铸铝材料断裂，作为易损性分析中套管失效的判据。
3.2 采用全部样本计算基准易损性曲线
由于陶瓷、铸铝为脆性材料，其应力–应变曲线近似线性，在有限元软件中输入全部基准样本，弹性状态下计算该套管响应。之后通过式(9)计算PGA为0.1、0.2、…、1g时套管失效概率。
P = \frac{{{n_{\rm{f}}}}}{N} (9) 式中：P为失效概率；nf为使套管失效的地震动数；N为基准样本中地震动总数，本文N = m = 139。
做出套管根部PGA-失效概率散点图，用对数正态分布累积函数拟合[32]，得到采用了全部样本的基准易损性曲线，如图 5所示。其中，横轴为变压器套管根部连接套筒处的PGA，纵轴为失效概率，在PGA = 0.6g时，套管失效概率大于50%。结合试验结果来看，该值合理。
3.3 基于地震动聚类快速计算易损性曲线
本节为减少计算量，不采用全部的基准样本库，而是从基准样本库中选择30条(占比21%)典型地震动样本代表全部样本，以此计算该型变压器套管的易损性曲线。
典型地震动样本基于聚类结果决定，根据样本到所属聚类中心的距离，分别从每一类样本中均匀间距地选取z个地震动样本，组成样本数为30的典型地震动样本库。z的取值由该分类的样本数与总样本数的比例决定，如式(10)所示：
z = \frac{{30}}{N} \times n' (10) 式中n'为该分类中地震动样本数。
用此方法在基准样本库中选择典型地震动样本库，记作典型样本库a。典型样本与其余未被选中的样本的分布情况如图 6(a)所示。
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图 6 典型样本在基准样本中的分布情况Figure 6. Distribution of the typical samples in the benchmark samples为了对比，从基准样本库中选择在[0.1, Tg]与[T1-0.2, T1 + 0.5]两区段[22]与需求反应谱最接近的30个地震动样本作为典型样本库b(Tg为特征周期，T1为结构的基本周期，需求谱根据规范[29]中Ⅱ类场地地震影响系数曲线)，典型样本库b与其余未被选中的样本的分布情况如图 6(b)所示。同样作为对比，从基准样本库中任意随机选取30个样本，作为典型样本库c，典型样本库c与其余未被选中样本的分布情况如图 6(c)所示。
图 6(a)中，根据聚类结果从基准样本库选择的典型样本的分布形状与基准样本库整体分布形状相近，3维坐标的离散性较好，即主成分指标覆盖区间较广，且典型样本的分布密度随空间位置的变化与整体样本相近。对照聚类结果图(如图 3所示)，选取的典型样本涉及各个类，类型多样。
相比，图 6(b)根据与需求谱的匹配度选择的典型样本库b分布集中。这是因为对频率特性的限制导致选取的样本类型单一(对照图 3，主要是第6类样本)，主成分指标值覆盖区间小，忽略了坐标轴始末边缘的的样本，不能充分考虑地震动的随机性。这种选择地震动方法主要适用于结构的抗震验算[19]，文献表明按该方法选波计算的结构响应离散系数较小[22-33]，这对于结构抗震验算是有利的，是偏安全的。但易损性分析需要充分考虑地震动的随机性，用该方法选择的地震动来代替基准样本用于易损性分析是值得怀疑的。同样，图 6(c)任意随机选择样本，选取的样本分布集中，不具有代表性。
综上，典型样本库a更全面地代表基准样本库。分别采用上述3种典型地震动样本代替全部样本，进行该型变压器套管的易损性分析，并与采用全部样本的基准易损性曲线对比，结果如图 7所示。
其中，基于聚类选择的典型样本库a得到的易损性曲线称为聚类易损性曲线。根据需求谱与随机选择的样本库b、c得到的易损性曲线分别称为需求谱易损性曲线、随机易损性曲线。聚类易损性曲线与基准易损性曲线基本一致，误差较小，并在PGA = 0.45g附近出现交叉。相比，需求谱易损性曲线在其P = 11%和P = 88%附近与基准曲线相差较大。随机易损性曲线与基准曲线有更大差距且不保守。在PGA = 0~1g范围内易损性曲线误差的具体数值如表 6所示，分别给出了与基准易损性曲线相比，相应单个数据点的 P 的最大差值和曲线包络面积的相对误差。
表 6 易损性曲线的误差分析Table 6. Error analysis of fragility curve% 曲线 P的最大差值 曲线面积相对误差 聚类易损性曲线 4.4 5.7 需求谱易损性曲线 9.3 13.7 随机易损性曲线 17.0 27.6 易损性曲线拟合函数采用对数正态分布累积函数，表 7给出其均值参数μ、标准差参数σ，其中，误差是指与基准易损性曲线相比，参数的相对误差。可见，聚类易损性曲线与需求谱易损性曲线的μ都与基准曲线接近，μ决定曲线上对应失效概率P = 50%的点的位置，故三者曲线在P = 50%处接近重合。但需求谱易损性曲线的σ偏小，标准差σ决定了曲线在P = 50%附近的斜率，σ越小曲线斜率越大。所以需求谱易损性曲线斜率较大，P > 50%区段偏保守，P < 50%区段偏危险，在其P = 11%和P = 88%附近与基准曲线相差较大。标准差σ较小是因为对频率特性的限制使得选择的地震动样本分布集中，类型单一，套管结构响应的离散性降低。
表 7 易损性曲线的关键参数分析Table 7. Analysis for key parameters of fragility curve曲线 均值μ μ的误差/% 标准差σ σ的误差/% 基准易损性曲线 1.77 — 0.65 — 聚类易损性曲线 1.74 1.7 0.58 10.8 需求谱易损性曲线 1.76 0.6 0.45 30.8 随机易损性曲线 1.99 12.4 0.53 18.5 分别作出3种方法选择的典型样本的加速度反应谱均值曲线，并与基准样本库(全部样本)比较，如图 8所示。典型样本库a、b的均值谱与基准样本库的均值谱相符，其中样本库b的均值谱略大，在平台段包络基准样本库。典型样本库c的均值谱在T1附近下降，低于基准样本库的均值谱，且偏差较大。这与三者的易损性曲线结果相照应。
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图 8 不同方法选取的样本的反应谱曲线Figure 8. Response spectrum curves of samples selected by different methods综上，基于聚类选取典型地震动样本库a代替全部样本用来计算易损性曲线，在减少地震动输入同时保证了结果的准确性。
3.4 多类地震动的易损性曲线
上述2.2节中，基准样本分为7类，第3、5、6类地震动样本数量较多，如图 3所示。对于该变压器套管，分别输入这3类地震动，计算各类的易损性曲线，如图 9所示。
这3类地震动得到的易损性曲线差异较大，可以从图 3中各类地震动在3维主成分坐标体系中的分布得到解释。第3类地震动幅值主成分p1较小，即该类地震动时程记录的CAVstd与Ia较小，故该类地震输入下此型变压器套管失效概率较低。同理，第6类地震动3个主成分均大致处于平均水平；第5类地震动基频主成分p3较大，即Sa(2%, T1)参数较大，故在其输入下变压器套管的失效概率较高。如图 10所示，从3类地震动的反应谱的均值曲线也可看出，反应谱峰值依第5、第6、第3类次序降低，这与3类地震动的易损性曲线情况(失效概率也依此顺序降低)一致。
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图 10 各类地震动的反应谱均值曲线Figure 10. Average curve of response spectrum for various ground motions从PEER地震库额外引入5条Ⅱ类场地的地震动时程记录，采用本文方法计算其主成分值，该5条地震动样本距离第3类地震动的聚类中心点最近，均归为第3类地震动。
采用有限元模型弹性状态下计算该型变压器套管在这5条地震动输入下(调幅为PGA = 0.6g)连接套筒底板与加劲肋端部连接处的应力响应，结果如表 8所示。由表可知该套管在这5条地震动输入下均未失效。由图 9所示，显然采用第3类地震动的易损性曲线(PGA = 0.6g时，失效概率14%)比采用其他类的易损性曲线以及适用于全部样本的基准易损性曲线，更准确。可见，在确定地震动类别的条件下，采用对应类别的易损性曲线对设备失效概率的评估更准确。
表 8 变压器套管的应力响应Table 8. The stress results of transformer bushingMPa 地震动序号 主拉应力峰值 极限抗拉强度 1 52 130 2 98 130 3 45 130 4 66 130 5 68 130 平均值 66 130 3.5 基于地震动聚类的易损性分析方法
提出基于地震动聚类的易损性分析方法，有2种用途，后者更为重要：1）选取少量典型地震动样本代替目标地库全部样本，计算适用于整体样本的基准易损性曲线，对设备可靠性快速评估，指导震前变电站设备抗震加固；2）得到各类地震动的易损性曲线，震后根据地震类型选取对应类型易损性曲线，对各设备进行更精确评估并按失效概率排序，指导震后检查抢修工作的顺序。，如图 11所示。
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图 11 基于地震动聚类的变电站设备易损性分析方法Figure 11. Fragility analysis of substation equipment based on ground motion clustering需注意：的是，本文以有限的Ⅱ类场地的地震库为例，对于其他类场地的地震，需先采用本方法进行主成分分析与聚类，进而进行易损性分析。
4. 结论
本文结论如下：
1）常见地震动参数之间具有较强相关性，通过主成分分析，用少量主成分指标可综合常见地震动参数。
2）基于聚类结果选取的少量典型地震动样本对于全部样本具有较好的代表性，两者的统计特征、参数分布相近。
3）采用本方法，对变电站设备输入少量的典型地震动样本，得到的易损性曲线与输入全部样本的基准易损性曲线接近，降低计算成本同时保证结果准确性。
4）根据与需求谱的匹配程度选择地震动输入，得到的易损性曲线在P = 50%附近较准确，但在P > 50%区段偏保守，P < 50%区段偏危险；而根据聚类选择典型地震动输入得到的易损性曲线在这俩区段准确度更高。
5）基于聚类结果，根据不同类别的地震动得到的易损性曲线差异较大。在确定地震动类别的条件下，采用对应类别的易损性曲线对变电站设备失效概率的评估更准确。
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图 2 畸变程度与分类数k关系图
Figure 2. Relationship of distortion degree and classification number k
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图 4 套管设计图与有限元模型图
Figure 4. Design drawing and finite element model drawing of the transform bushing
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图 6 典型样本在基准样本中的分布情况
Figure 6. Distribution of the typical samples in the benchmark samples
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图 8 不同方法选取的样本的反应谱曲线
Figure 8. Response spectrum curves of samples selected by different methods
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图 10 各类地震动的反应谱均值曲线
Figure 10. Average curve of response spectrum for various ground motions
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图 11 基于地震动聚类的变电站设备易损性分析方法
Figure 11. Fragility analysis of substation equipment based on ground motion clustering
表 1 常见地震动参数及其分类
Table 1 Common ground motion parameters and their classification
序号 参数 英文简写 类别 1 峰值速度 PGV 幅值相关类 2 标准累积绝对速度 CAVstd 3 峰值位移 PGD 4 Arias强度 Ia 5 能量持时(90%) td 持时相关类 6 动力系数最大值 βmax 加速度反应谱相关类 7 结构基本周期对应谱加速度 Sa(2%, T1) 8 反应谱峰值对应的周期 Tp 9 有效峰值加速度 EPA 
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表 2 地震动参数的相关系数矩阵R
Table 2 Correlation coefficient matrix of ground motion parameters
相关数 PGV CAVstd PGD Ia td βmax Sa Tp EPA PGV 1.00 0.60 0.85 0.69 0.39 0.10 0.35 0.64 0.16 CAVstd 0.60 1.00 0.63 0.97 0.84 0.44 0.40 0.25 0.51 PGD 0.85 0.63 1.00 0.69 0.47 0.15 0.29 0.46 0.22 Ia 0.69 0.97 0.69 1.00 0.71 0.47 0.45 0.32 0.51 td 0.39 0.84 0.47 0.71 1.00 0.22 0.18 0.14 0.32 βmax 0.10 0.44 0.15 0.47 0.22 1.00 0.50 -0.11 0.70 Sa 0.35 0.40 0.29 0.45 0.18 0.50 1.00 0.27 0.66 Tp 0.64 0.25 0.46 0.32 0.14 -0.11 0.27 1.00 -0.13 EPA 0.16 0.51 0.22 0.51 0.32 0.70 0.66 -0.13 1.00
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表 3 主成分指标的特征值与累计贡献率
Table 3 Characteristic value and cumulative contribution rate of principal component index
主成分 特征值 方差百分比/% 累积贡献率/% p1 4.62 51.30 51.30 p2 1.91 21.24 72.54 p3 1.10 12.19 84.73 p4 0.50 5.51 90.24 p5 0.39 4.33 94.57 p6 0.19 2.17 96.74 p7 0.19 2.07 98.80 p8 0.10 1.11 99.92 p9 0.01 0.08 100.00
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表 4 主成分分析的载荷矩阵
Table 4 Component matrix of principal component analysis
原参数 主成分p1 主成分p2 主成分p3 PGV 0.765 -0.511 0.203 CAVstd 0.925 0.033 -0.328 PGD 0.775 -0.414 0.033 Ia 0.945 -0.006 -0.172 td 0.715 -0.033 -0.582 βmax 0.517 0.681 0.140 Sa(2%, T1) 0.606 0.353 0.574 Tp 0.416 -0.647 0.455 EPA 0.604 0.685 0.152
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表 5 变压器瓷套管设计参数
Table 5 Design parameters of transformer porcelain bushing
部件 关键参数 数值 空气侧套管 长度/mm 11005 重心与法兰高度差/mm 4645 质量/kg 5073 根部外径/mm 640 根部内径/mm 550 设备整体 长度/mm 13315 质量/kg 7135
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表 6 易损性曲线的误差分析
Table 6 Error analysis of fragility curve
% 曲线 P的最大差值 曲线面积相对误差 聚类易损性曲线 4.4 5.7 需求谱易损性曲线 9.3 13.7 随机易损性曲线 17.0 27.6
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表 7 易损性曲线的关键参数分析
Table 7 Analysis for key parameters of fragility curve
曲线 均值μ μ的误差/% 标准差σ σ的误差/% 基准易损性曲线 1.77 — 0.65 — 聚类易损性曲线 1.74 1.7 0.58 10.8 需求谱易损性曲线 1.76 0.6 0.45 30.8 随机易损性曲线 1.99 12.4 0.53 18.5
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表 8 变压器套管的应力响应
Table 8 The stress results of transformer bushing
MPa 地震动序号 主拉应力峰值 极限抗拉强度 1 52 130 2 98 130 3 45 130 4 66 130 5 68 130 平均值 66 130
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